Figlio del ballerino e insegnante Víctor Ullate, Josué Ullate si è formato interamente nella scuola di suo padre a Madrid ed è attualmente un ballerino professionista del Víctor Ullate Ballet-Community di Madrid. Nel 2013 è stato riconosciuto come miglior ballerino della scena contemporanea al prestigioso Premio Positano della Danza "Leonide Massine", nella sua 41a edizione.